Tema 1: Movimientos
También las denominamos transformaciones isométricas. Son aquellas transformaciones en las que la figura transformada conserva los ángulos y las dimensiones de la original. Se trata de tres movimientos:
Traslación - Es mover una figura de tal forma que los nuevos lados son paralelos a los iniciales. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.
Giro - Es mover una figura alrededor de un punto un determinado ángulo. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.
Simetría - Es el giro de una figura plana alrededor de un eje (simetría axial) o de un punto (simetría central). Una forma de simplificar los trazados al solo necesitar una parte.
Podéis consultar este material y este otro para repasar lo visto y practicar haciendo estos ejercicios
Cuando lo tengáis claro, podéis empezar con los ejercicios de clase.
Tema 4: Afinidad
Una afinidad es una correspondencia entre elementos, de manera que a cada punto le hacemos corresponder un punto, a cada recta, una recta y, en general, a cada figura plana, otra figura plana.
Los elementos que intervienen en la afinidad son:
- El eje de afinidad
- Un par de puntos afines
Lo más importante, para evitar confundirlo con la Homología, es que la Afinidad se caracteriza por una dirección, es decir, que los puntos afines se encuentran sobre rectas paralelas unas a otras. Se puede entender que en la Afinidad, el vértice se encuentra en el infinito y, por ello, se le considera un caso particular de Homología.
El caballo de batalla
El ejercicio más sencillo que se te puede presentar en afinidad tendrá el siguiente aspecto:
Dados:
- Un eje de afinidad
- Un punto y su afín
- Una figura plana
Se pide:
- Determinar la figura afín de la dada.
Pongamos el ejemplo de un cuadrilátero.
Dirección de la afinidad
La dirección de la homología viene definida al unir el punto A con el A’. Ya sabemos que los homólogos de los puntos dados se encontrarán en rectas paralelas a esta. Podemos por lo tanto trazar rectas paralelas a A-A’ pasando por los puntos B, C y D.
Obtener nuevos puntos afines
Puesto que ya conocemos el punto afín de A, lo utilizaremos como base para obtener los demás. Unimos A con B y lo prolongamos hasta el eje. Desde ahí, unimos con el homólogo A’ y también lo prolongamos, de manera que corta a la recta de la dirección de afinidad que pasa por B. Obtenemos así B’.
Para obtener el punto afín D’ seguimos el mismo proceso: unimos A con D y lo prolongamos hasta el Eje. Desde ahí unimos con el punto afín A’. D’ se encontrará en el corte con la recta paralela a la dirección de afinidad que pasa por D.
Una vez que hemos obtenido nuevos puntos afines (B’ y D’) podemos utilizarlos como base para resolver los que nos quedan. Yo he obtenido C’apoyándome en D, pero fíjate que también sería posible definirlo a través deB.
Los 3 trucos de la afinidad que te prometí
Fíjate en el ejercicio anterior. Observa que la recta A’-B’ es afín en toda su longitud a la recta A-B. ¿Qué quiere decir eso? Que cualquier punto que dibujes sobre la recta A-B tendrá su punto afín sobre la recta A’-B’. Basta con dibujar una recta paralela a la dirección de afinidad por dicho punto y ¡listo!
¿Qué pasa en el punto de corte de ambas rectas? Date cuenta de que ambas rectas se cortan en el Eje. No es casual.
Truco nº 1
Cualquier punto que se encuentre en el Eje, tiene su afín en sí mismo.
Lo aplicamos en el siguiente ejemplo:
En este emplo vemos que los puntos C y D se encuentran sobre el Eje. Eso quiere decir que tendrán sus afines en el mismo eje. No tenemos que hacer nada, ¡ya están ahí!
Y para obtener esos puntos nos da exactamente igual dónde esté el punto afín de A, no influye para nada.
Truco nº 2
Cuando una recta sea paralela al Eje, su recta afín también será paralela al Eje. Sencillo pero brillante.
Te explico por qué ocurre esto: cualquier recta debe encontrar su afín y todas tienen un punto común sobre el Eje. La singularidad de las rectas paralelas al Eje es que dicho punto se encuentra en el infinito, puesto que realmente no tienen punto de corte con el Eje. Por tanto, es sencillo entender que tanto la recta original como la afín tengan su punto de corte en el infinito, o, lo que es lo mismo, que sean paralelas al Eje.
Por tanto, si en el ejercicio teníamos que el lado A-B es paralelo al Eje y ya nos habían dado como enunciado el punto afín A’, sólo tenemos que trazar una recta paralela al Eje que pase por A’ para obtener B’. Por supuesto, B’estará sobre una recta paralela a la dirección de afinidad, que quedó definida por A-A’.
Truco nº3
El último truco tiene que ver con la circunferencia.
Ahí va: divide la circunferencia en 8 partes de manera que uno de los diámetros que utilices sea paralelo al Eje de Afinidad. Otro será perpendicular al primero y los otros dos diámetros formarán 45º. Esto te hará la vida infinitamente más sencilla. Tendrás que dibujar menos líneas y, por tanto:
- Ahorrarás tiempo
- Tu dibujo será más preciso
Como he dicho antes, cualquier recta paralela al Eje tiene otra recta paralela al Eje como afín. Es por ello que de esta manera sólo tendrás que encontrar 5 puntos afines.
Sólo he tenido que encontrar la recta afín de 1-5 (que pasa por el centro O y es perpendicular al Eje), así como de 4-8 (que forma 45º). El resto de puntos afines se obtendrán trazando paralelas al Eje por los puntos 4′, 8′ y O’.
Ejercicio tipo Prueba de Acceso a la Universidad
Bueno, hasta aquí la teoría. Vamos a aplicarlo a un ejercicio típico de las PAU. Aunque el ejercicio está resuelto más abajo, te dejo las coordenadas precisas de cada punto por si quieres hacerlo en casa. Las coordenadas están dadas en centímetros y referenciadas a la esquina inferior izquierda de un folio tamaño DIN-A4.
– Dados los puntos A (18.3, 24.1), O (22.1, 19.7) y P (18.1, 11.1) junto con sus afines A’ (16.5, 3), O’ (9.2, 11.3) y P’ (18.1, 11.1),
– Se pide:
- Dibujar el Eje de afinidad que definen
- Dibujar el hexágono inscrito en una circunferencia de radio 4.7cm, sabiendo que tiene su centro en O’ y que dos de sus vértices se encuentran en la recta A’-O’.
- Dibujar el hexágono afín.
El eje de afinidad
En primer lugar definimos el Eje de afinidad. Con los datos que contamos, podemos saber que el punto P-P’ pertenece al Eje, puesto que, por definición, cuando un punto y su homólogo coinciden, significa que dicho punto se encuentra en el Eje.
Por otro lado tenemos definidos dos puntos y sus afines. Las rectas que unen dichos puntos serán también afines. Como hemos visto anteriormente, donde se corten dichas rectas definirá otro punto del Eje. Por tanto, unimos A con Oy A’ con O’ y los prolongamos hasta que se corten.
Al unir el punto de intersección con P≡P’ obtenemos el Eje de afinidad. Sencillo, ¿no? Pues esto suele valer 1 punto en las PAU.
El hexágono
Ahora sabemos que, centrado en O’, tenemos que dibujar un hexágono de radio 4.7cm. y que dos de sus vértices se encuentran sobre la recta A’-O’.
Pues nada más fácil. Pinchamos con el compás en O’ y trazamos una circunferencia con el mencionado radio. Eso nos define dos puntos de corte con la recta A’-O’, que serán vértices del hexágono final y que llamaremos 2’y 5’.
Puesto que sabemos que el radio del hexágono es igual al lado, trazamos dos arcos de circunferencia, uno con centro en 2’ y el otro en 5’, ambos con radio 4.7cm y estos nos definirán los otros cuatro vértices del hexágono: 1’, 3’, 4’ y 6’.
El hexágono afín
La dirección de afinidad la tenemos ya definida por las rectas A-A’ o, lo que es lo mismo, su paralela O-O’. Los puntos afines a cada uno de los vértices del hexágono se encontrarán en rectas paralelas a esta dirección que pasen por cada punto. Así que eso ya podemos trazarlo.
Puesto que 2’ y 5’ se encentran sobre la recta A’-O’, sus puntos afines 2 y 5se encontrarán sobre la recta A-O, que ya tenemos dibujada.
Para el punto afín de 1’, lo unimos con otro punto del que ya conozcamos su afín. Lo más sencillo será utilizar el centro O’, porque simultáneamente estamos obteniendo el afín del punto 4’. Prolongamos esa recta hasta el Eje de afinidad y la unimos con el punto O. Así obtendremos los puntos afines 1 y4.
El punto 6 se obtiene de la misma manera, uniendo 6’ con O’, llevando la recta hasta el Eje y luego uniendo con O.
¿Y el punto 3?
El punto quizá más complicado es el 3’, porque se encuentra al otro lado del Eje de Afinidad y puede resultarnos más confuso. En realidad 3’ pertenece a la recta O’-6’, cuya recta afín ya tenemos: O-6. Sólo habría que prolongar dicha recta O-6 hasta que corte a la recta paralela a la dirección de afinidad que pasa por 3’.
Así obtendríamos 3.
Así obtendríamos el hexágono afín.
Tema 3: Abatimientos
Abatir un plano quiere decir girarlo sobre una línea que llamaremos charnela para apoyarlo sobre otro plano cuya lectura nos resulte más beneficiosa. Lo más común es abatir sobre el Plano de Proyección Horizontal, pero cualquier otro plano es válido.
El objetivo principal es poder leer dimensiones y ángulos en verdadera magnitud, lo cual supondrá una herramienta de gran utilidad.
Tipos de Abatimientos
Abatimiento de un plano proyectante vertical.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
Abatir un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección es como “pasar las páginas de un libro”. Si abatimos un plano proyectante vertical Q sobre el plano horizontal de proyección, su traza horizontal, normal a la línea de tierra, servirá de charnela y permanecerá por tanto en el mismo lugar. Su traza vertical girará en un sentido o en otro y con centro en n, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, hasta coincidir con esta, como se aprecia en la figura 1.
En proyecciones diédricas, trazaremos un arco de centro n y radio na’, siendo A un punto arbitrario del plano Q contenido en su traza vertical, hasta cortar en A1 a la línea de tierra. La nueva traza Q’ abatida, se denominará de igual modo pero con el subíndice 1 para distinguirla: Q’1.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
La figura BCD contenida en el plano se mostrará en verdadera magnitud una vez abatido el plano que la contiene. Para obtener la nueva posición de los puntos B, C y D trazamos normales a la charnela Q desde sus proyecciones horizontales b, c y d hasta cortar a las normales correspondientes trazadas a la línea de tierra por donde los arcos de centro en n y radios nb’, nc’ y nd’ la corten obteniendo los puntos B1, C1 y D1 buscados. (Véase abatimiento de una figura plana situada en un plano en este mismo tema). Fig. 2
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano horizontal de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.
Al utilizar como charnela la traza vertical del plano, esta permanecerá inmóvil en el abatimiento siendo la traza horizontal Q la que cambie de ubicación, pasando a estar ahora sobre el plano vertical en Q1. Tomando un punto A de la traza horizontal, procedemos de igual modo que en el ejercicio anterior y obtenemos A1 que determina la dirección de la traza Q1. Observemos que, y por ser el plano Q proyectante, el ángulo real que forman entre sí sus trazas es perpendicular. Tras el abatimiento, ya en verdadera magnitud, las trazas Q’ y Q1 deben mostrarse por tanto perpendiculares entre sí.
En proyecciones diédricas, para calcular la traza abatida Q1 del plano bastará con trazar una recta perpendicular a la traza vertical Q’ por el punto nn’. El punto A de la traza horizontal estará ubicado tras el abatimiento en A1. Fig. 3
Abatimiento de un plano proyectante vertical sobre el plano vertical de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical de proyección.
La charnela Q’ permanece inmóvil siendo Q la que gira hasta coincidir con la línea de tierra en un sentido u otro. Un punto A situado en la traza Q del plano tendría su ubicación una vez abatido en A1 sobre la línea de tierra a un lado u otro de la charnela Q’. La traza abatida y la charnela han de mostrarse en todo caso normales entre sí. Fig. 4
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano vertical y horizontal de proyección.
Abatimiento de un plano proyectante horizontal sobre el plano horizontal de proyección.
Se resuelve de idéntico modo que los ejercicios precedentes. La traza abatida y la charnela han de ser normales. Fig. 5
Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.
Abatiremos la traza vertical de un plano oblicuo Q sobre el plano horizontal de proyección. En realidad abatimos el plano en su totalidad pero es la traza vertical la que experimenta cambio gráficamente. La traza horizontal será la charnela del abatimiento permaneciendo por tanto invariable. Podemos trabajar de dos modos distintos:
Tomamos un punto A de la traza Q’ y lo abatimos sobre el plano horizontal en A1, uniéndolo con N, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, obtendremos la traza Q’1 abatida. Para abatir el punto A, trazamos por él una recta R de máxima pendiente del plano, esta recta corta a la traza horizontal del plano en el punto m.
Las proyecciones del punto a’ y a, forman junto a m, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa, el segmento a’m, es la recta de máxima pendiente del plano y debe de coincidir tras el abatimiento, por ser una recta del plano Q, con el plano horizontal de proyección. La recta de máxima pendiente es pues radio de un arco de circunferencia de centro m que tendremos que trazar hasta ubicarla sobre el plano horizontal de proyección y localizar así en su extremo la posición de A abatido.
Para poder trazar esta circunferencia representada en la figura 6 en visión espacial, en proyecciones diédricas,abatimos previamente el mencionado triángulo sobre el plano horizontal de proyección tomando como charnela su cateto am. Para ello trazamos una recta paralela a la traza horizontal de Q o normal al propio cateto am por a, llevando sobre ella y a partir de a, la magnitud del cateto aa’ que no es sino la cota del punto A conocida, obtenemos de este modo el punto a’0, vértice del triángulo abatido. Uniendo a’0 con m, invariable en este abatimiento previo, obtenemos la hipotenusa que no es sino la recta R abatida sobre plano horizontal de proyección y radio del arco que tenemos que trazar.
Situado el triángulo sobre el plano horizontal de proyección podemos trazar ya el arco de centro m y radio m-a’0 hasta cortar a la prolongación del cateto am en A1 punto buscado. Uniendo el punto n, vértice de las trazas del plano Q en la línea de tierra con A1, obtenemos la traza vertical del plano Q abatida sobre el plano horizontal de proyección en Q’1. Fig. 7.
En cualquier abatimiento, todos los puntos del plano abatido describen circunferencias situadas en planos normales al plano a abatir. Estas circunferencia tienen su centro en la charnela y radios que van desde el punto de intersección entre la circunferencia y la charnela a los respectivos puntos. Si los puntos están situados en una de las trazas (la contraria a la charnela escogida), los radios mencionados serán rectas de máxima pendiente o inclinación según abatamos sobre el plano horizontal o vertical de proyección respectivamente.
Abatimiento de las trazas de un plano oblicuo.
Simplificación del método.
Si observamos el ejercicio anterior veremos que las distancias nA1 y na’ son iguales. Esto es así pues el segmento NA está en verdadera magnitud por pertenecer a la traza vertical y una vez abatido en NA1 mide, lógicamente, lo mismo. Podemos por tanto abatir la traza vertical de Q sobre el plano horizontal de proyección de un modo más rápidohaciendo centro en n’ y trazando un arco de radio n’a’ hasta cortar a la prolongación del segmento am en A1 que unido posteriormente con n determinará Q’1. Fig. 8.
Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.
Se procede de igual modo que en los ejercicios anteriores, siendo en este caso el radio del arco de abatimiento la recta R de máxima inclinación del plano dado Q. En la figura 9 se resuelve según los dos métodos vistos anteriormente.
Abatimiento de la traza horizontal del plano sobre el plano vertical de proyección.
Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.
Cuando hablamos de abatir un punto, nos referimos a abatir el plano que lo contiene para poder de este modo ver la situación del punto en alguno de los planos de proyección, en este caso sobre el plano horizontal. Primero comprobaremos mediante una recta del plano, en este caso la horizontal T, que el punto pertenece efectivamente al plano Q.
El proceso a seguir es el mismo que en el ejercicio anterior, siendo la única diferencia que este punto no está situado en la traza vertical del plano. Hacemos pasar por el punto dado A, una recta de máxima pendiente R y a partir de la proyección horizontal del punto, trazamos un segmento paralelo a la traza horizontal del plano cuya magnitud sea igual a la COTA del punto A, uniendo el extremo de este segmento, a’o, con el punto m de intersección entre la proyección horizontal de R y la traza Q del plano, obtenemos la hipotenusa del triángulo rectángulo radio del giro según vimos en el ejercicio anterior, primer método. Haciendo centro en m y con radio igual a la trazamos un arco hasta cortar a la prolongación de la proyección horizontal de R obteniendo así la ubicación sobre el plano horizontal del punto A abatido, A1. Fig.10
En la figura 11, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección auxiliándonos de la traza vertical del plano abatida en Q’1 según el segundo método del ejercicio anterior. Para ello hemos abatido un punto de la traza vertical, v’ en v’1 que unido con n define Q’1. Trazamos una recta perpendicular por la proyección horizontal de A a Q y una recta paralela a t por v’1 (recta horizontal T abatida en T1), donde ambas se cortan tenemos A1.
El abatimiento de un punto sobre el plano vertical de proyección se realiza del mismo modo pero a partir de una recta de máxima inclinación en el primer caso y auxiliándonos de la traza horizontal del plano dado, abatida sobre el plano vertical de proyección.
Abatimiento de un punto situado en un plano dado Q.
Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.
Para abatir un segmento dado AB, situado en un plano Q, comprobaremos primero que efectivamente pertenece al plano mediante, por ejemplo, rectas horizontales del plano Q, T y S que pasen por los extremos del segmento A y B respectivamente.
Abatiremos los puntos A en A1 y B en B1, sobre el plano horizontal en este caso, como hemos visto en las figuras 10 y 11, uniendo A1 con B1 tendremos abatido sobre el plano horizontal de proyección el segmento dado y por tanto en verdadera magnitud.. En la figura 12 se realiza el ejercicio a partir de una recta de máxima pendiente del plano que pase por A y en la figura 13 a partir de la traza vertical Q’ del plano abatida.
Abatimiento de un segmento situado en un plano dado.
Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado.
Como en el caso del segmento resuelto anteriormente, lo primero es comprobar si realmente pertenece dicha superficie al plano. Para ello emplearemos rectas auxiliares, por ejemplo, horizontales.
La superficie a abatir será en el ejemplo un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C. El procedimiento a seguir es exactamente el mismo que el empleado en el abatimiento de un punto o de un segmento vistos anteriormente. En el ejercicio de la figura 14 el abatimiento se efectúa sobre el plano horizontal de proyección y se resuelve el problema por el segundo método estudiado, es decir, auxiliándonos de la traza del plano que contiene a la superficie plana abatida sobre el plano horizontal de proyección.
Podemos simplificar el trazado haciendo uso de la relación de afinidad existente entre una de las proyecciones de la figura y la propia figura abatida como veremos en el ejercicio siguiente.
Abatimiento de una superficie plana situada en un plano dado y simplificando por afinidad.
Abatimiento de una superficie plana, simpliplificando mediante afinidad.
Una afinidad queda determinada como sabemos si conocemos el eje de afinidad, la dirección y la relación de afinidad o un punto afín de la figura dada.
La relación de afinidad entre las proyecciones diédricas de una figura y la figura abatida sobre uno de su plano de proyección correspondiente tiene como eje de afinidad la charnela de abatimiento y dirección de afinidad normal a la charnela, solo necesitamos conocer un punto afín de una de las proyecciones de la figura que no es sino un punto abatido por cualquiera de los métodos estudiados.
En el ejercicio de la figura 15, abatimos el punto A en A1 y resolvemos B1 y C1 por afinidad siendo n y ñ puntos dobles de esta relación. Podemos observar que el trazado del ejercicio se simplifica notablemente.
Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.
Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.
Se puede dar el caso en que necesitemos situar un punto, segmento o superficie ubicados en uno de los planos de proyección, sobre un plano dado Q, tendremos pues que desabatir estos elementos invirtiendo los pasos estudiados en los abatimientos.
En el ejemplo de la figura 16, conocida la figura A1, B1C1 abatida sobre el plano horizontal de proyección y dado el plano Q, desabatiremos el triángulo. Podemos desabatir uno de sus vértices y calcular el resto mediante la afinidad existente entre la superficie abatida y la proyección horizontal de la figura contenida en el plano oblicuo Q.
Para desabatir uno de los tres vértices, en el ejemplo el vértice A1, y dejar de este modo definida la relación de afinidad, operamos de modo inverso al abatimiento de un punto, para ello abatimos previamente la traza vertical del plano sobre el plano horizontal de proyección y obtenemos Q’1, trazamos por A1 una recta normal y otra paralela a la traza horizontal del plano y obtenemos en la intersección de esta última con Q’1 el punto m1. Por m1 trazamos una recta normal a la traza Q hasta cortar a la línea de tierra en m desde donde trazamos otra recta paralela a Q hasta cortar a la normal trazada por A1 a Q, obtenemos de este modo la proyección horizontal del punto A, a.
En esta operación nos hemos auxiliado de una recta horizontal del plano que contiene a A1 y la hemos desabatido para obtener la proyección horizontal de A. Obtenido a, y establecida por tanto la afinidad, trazamos las proyecciones horizontales de B y C. Para calcular las proyecciones verticales de la figura contenida en el plano dado Q, nos auxiliamos de rectas horizontales del plano Q que contengan a las proyecciones a, b y c. Obtendremos de este modo los puntos a’, b’ y c’.
EJERCICIO.
Dado el plano Oblicuo Q y la proyección vertical de un punto O en él contenido, dibujar las proyecciones diédricas de un pentágono regular de centro en O dado sabiendo que una de sus diagonales es paralela al plano horizontal de proyección y que uno de sus vértices pertenece a dicho plano. Fig. 17
SOLUCIÓN. Fig. 18
Si el punto O pertenece al plano, la proyección horizontal de O, no dibujada, debe pertenecer a una recta del plano. Hacemos pues pasar por o’ una recta auxiliar que pertenezca al plano dado, en el ejemplo de la figura hemos trazado una recta horizontal del plano dado, determinando de este modo la proyección horizontal de O sobre la proyección horizontal de esta recta auxiliar.
El punto O definido por sus proyecciones diédricas es centro de un pentágono regular. Para poder trazar este polígono, necesitamos trabajar en verdadera magnitud lineal y angular. Abatimos el centro O dado del polígono sobre uno de los planos de proyección (en el ejercicio el plano horizontal) por cualquiera de los métodos estudiados y obtenemos O1, centro del polígono que trazaremos sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y forma.
El ejercicio exige que uno de los vértices del polígono esté situado en el plano horizontal de proyección y que una de las diagonales de la figura sea paralela a dicho plano.
Para que uno de los vértices de la figura pertenezca al plano horizontal de proyección y al plano dado a la vez debe de estar situado sobre la propia traza Q del plano dado. Por otro lado una diagonal de la figura paralela al plano horizontal de proyección y perteneciente al plano dado Q no es sino una horizontal de Q, se mostrará por tanto la proyección horizontal de esta diagonal paralela a la traza horizontal de Q. La diagonal abatida también se mostrará paralela a la traza horizontal del plano.
Sabiendo que O1 es centro del polígono, que uno de sus vértices (E1) ha de estar situado en la traza horizontal Q y que una de sus diagonales se mostrará paralela a esta (B1-D1), podemos trazar geométricamente el pentágono regular. Trazado el polígono en verdadera magnitud, desabatimos por afinidad mediante la proyección horizontal de O y obtenemos las proyecciones horizontales de la figura. Calculamos las proyecciones verticales de los vértices de la figura mediante rectas del plano que contengan a las proyecciones horizontales y unimos ordenadamente los vértices así obtenidos.
Desabatimiento de una superficie plana sobre un plano dado Q.
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